1. 数学定义

时间序列（Time Series）是一组按时间顺序排列的观测值集合，记为： $${X_t}, \quad t \in T$$ 其中，$T$ 为时间索引集（如分钟、日、年），$X_t$ 是时间点 $t$ 的随机变量。

2. 核心性质

时间序列分析的关键在于理解其统计特性，以下为四大核心性质：

  • 平稳性（Stationarity）

    • 严平稳：序列的联合分布不随时间平移改变
    • 弱平稳（二阶平稳）：满足以下两条件： $$E(X_t) = \mu \quad (\text{均值恒定})$$ $$Cov(X_t, X_{t+k}) = \gamma(k) \quad (\text{协方差仅与时滞k有关})$$
    • 重要性：多数模型（如ARIMA）要求数据平稳
    • 检验方法：ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）
    from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
result = adfuller(ts)
print('ADF Statistic:', result[0])
print('p-value:', result[1])  # p<0.05则拒绝非平稳假设

  • 自相关性（Autocorrelation）

    • 定义：时间序列与其自身滞后版本的相关性
    • ACF（自相关函数）：
      $$\rho(k) = \frac{Cov(X_t, X_{t+k})}{\sqrt{Var(X_t)Var(X_{t+k})}}$$
    • PACF（偏自相关函数）：排除中间滞后影响后的相关性
    • 作用：识别ARIMA模型的阶数（p, q）

  • 季节性（Seasonality）

    • 定义：固定周期内重复出现的模式（如月度、季度）
    • 示例：零售销售额在每年12月达到峰值
    • 检测方法：傅里叶变换、季节性子图（Seasonal Subseries Plot）

  • 记忆效应（长期依赖）

    • 定义：当前值与遥远过去值的相关性（如Hurst指数$H>0.5$）
    • 量化方法：
      $$H = \frac{\log(R/S)}{\log(T)} \quad (R: 极差, S: 标准差, T: 时间长度)$$

3. 时间序列分解

通过加法或乘法模型分解时间序列，识别趋势、季节性和随机成分（噪声、残差）。

  • 加法模型（Additive Decomposition）
    $$X_t = Trend_t + Seasonality_t + Residual_t$$

    • 适用场景：季节波动幅度不随时间变化

  • 乘法模型（Multiplicative Decomposition）
    $$X_t = Trend_t \times Seasonality_t \times Residual_t$$

    • 适用场景：季节波动幅度随趋势增长而扩大

  • STL分解（Seasonal-Trend decomposition using LOESS）

    • 优势：可处理复杂季节性和非固定周期
    • Python实现：
      from statsmodels.tsa.seasonal import STL
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成示例数据（包含趋势、季节性和噪声）
np.random.seed(42)
t = np.arange(100)
trend = 0.1 * t
seasonal = 5 * np.sin(2 * np.pi * t / 12)
noise = np.random.normal(0, 1, 100)
ts = trend + seasonal + noise

# STL分解
stl = STL(ts, period=13)  # 假设周期为13个时间单位
result = stl.fit()
result.plot()
plt.show()
    • 输出解析：
      ‘stl’
      • 趋势（Trend）：长期上升/下降模式
      • 季节性（Seasonal）：周期性波动
      • 残差（Residual）：去除趋势和季节后的随机波动

4. 时间序列预测模型

  • 模型汇总表
模型适用场景优点缺点典型应用案例
ARIMA平稳单变量序列简单易解释，计算快仅处理线性关系商品价格短期预测
SARIMA含季节性的平稳序列直接建模季节性参数选择复杂月度电力需求预测
VAR多变量动态系统捕捉变量间相互作用维度灾难，需平稳宏观经济指标联合预测
ETS趋势+季节明显的序列计算高效，缺失数据鲁棒无法加入外部变量零售销售额预测
Prophet含节假日效应的商业数据直观调整节假日，自动化程度高长期突变适应性差节假日订单量预测
LSTM复杂非线性序列自动学习长期依赖，支持多特征需大数据，黑箱模型股价趋势预测
Transformer超长序列全局依赖并行计算，全局信息捕捉资源消耗大，局部模式弱多站点气象预测
GARCH金融波动率建模精确描述波动聚类需结合均值模型期权定价与风险管理

5. 时间序列分析在量化交易中的应用

量化交易依赖历史数据分析预测未来走势，时间序列分析在以下方面发挥关键作用：

  • 价格预测：使用ARIMA、指数平滑预测股票价格，辅助买卖决策。
  • 模式识别：识别均值回归、动量等交易模式。
  • 波动率建模：GARCH模型预测波动率，管理风险。
  • 策略开发：如配对交易，利用协整关系交易价差。

以下是几种最常见的策略及其时间序列模型支持：

  • 均值回归策略

    • 原理：资产价格偏离均值后会回归均值。
    • 模型：AR(1)模型， $r_t = \phi r_{t-1} + a_t$，需 $ |\phi| < 1 $ 确保均值回归。
    • 实现：计算时间序列均值。检查当前值是否偏离均值超过阈值。偏高卖出，偏低买入，预期回归。
    • 半衰期： $h = -\ln(2)/\ln(\phi)$ ，决定持仓时间。
    • 实例：股票价格高于一年均值，卖出预期回归。

  • 动量策略

    • 原理：近期表现好的资产继续表现好。
    • 模型：移动平均线，短周期MA（如50天）与长周期MA（如200天）交叉。
    • 实现：例如，计算50天和200天移动平均线(MA)。短MA上穿长MA（黄金交叉）买入，下穿（死亡交叉）卖出。
    • 实例：50天MA上穿200天MA，买入股票预期继续上涨。

  • 波动率交易

    • 原理：从波动率变化中获利。
    • 模型：GARCH(1,1)，$ \sigma_t^2 = \omega + \alpha \epsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2$
    • 实现：预测高波动期买入期权，低波动期卖出。
    • 实例：预测波动率上升，买入跨式期权（straddle）获利。

  • 配对交易

    • 原理：寻找协整的资产对，交易价差回归。
    • 模型：协整检验（如Johansen检验），价差为平稳序列。
    • 实现：价差高于均值+标准差k时卖出A买入B，低于均值-k标准差时反向。
    • 实例：可口可乐和百事可乐价格协整，价差偏离时交易。